Bài tập trắc nghiệm chuyên đề mũ và logarit có lời giải

1. Định nghĩa hàm số mũ, hàm số loganrit:

Hàm số mũ là hàm số có dạng y=ax, hàm số lôgarit là hàm số có dạng  y=logax ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ và hàm số loganrit:

2.1. Tính chất của hàm số mũ y=ax (a>0,a≠1):

– Tập xác định: R

– Đạo hàm: ∀x∈R,y′=ax lna

– Chiều biến thiên          

+) Nếu a>1 thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu 0 thì hàm số luôn nghịch biến

– Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.

– Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (y=ax > 0∀x) và luôn cắt trục tung tại điểm (0;1) và đi qua điểm (1;a).

2.2. Tính chất của hàm số lôgarit y=logax (a>0,a≠1):

– Tập xác định: (0;+∞)(0;+∞).

– Đạo hàm ∀x∈(0;+∞),y′ =1/lna

– Chiều biến thiên:  

+) Nếu a>1>1 thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu 0

– Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

– Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1)                

chú ý:

– Nếu a>1 thì lna>0 suy ra (ax)′>0∀x và (logax)>0, ∀x>0

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu 0thì lna<0, (ax)′<0 và (logax)<0, ∀x>0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

– Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

(ln|x|)′= ,∀x≠0 và (loga|x|)′=1/lna ,∀x≠0.

3. Bài tập trắc nghiệm chuyên đề mũ và logarit có lời giải:

Câu 1: Giả sử x là nghiệm của phương trình

A. 0   B. ln3    C. –ln3    D. 1/ln3

Để ý rằng

nên phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án A.

Câu 2: Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình 32×2 + 2x + 1 – 28.3×2 + x + 9 = 0

A. -4    B. -2    C. 2    D. 4

Ta có: 32×2 + 2x + 1 -28.3×2 + x + 9 = 0 ⇔ 3.32(x2 + x) – 28.3×2 + x + 9 = 0

Đặt t = 3×2 + x > 0 nhận được phương trình

Với t = 1/3 = 3-1 được 3×2 + x = 3-1 ⇔ x2 + x + 1 = 0(vô nghiệm)

Với t = 9 được phương trình 3×2 + x = 9 = 32 ⇔ x2 + x = 2

x2 + x – 2 = 0 ⇔ x -2 hoặc x = 1

Tích của hai nghiệm này bằng -2.

Chọn đáp án B

Câu 3: Tìm nghiệm của phương trình 2x – 1 = 31 – 2x

Có nhiều cách biến đổi phương trình này. Tuy nhiên, nhận thấy các biểu thức trong các phương án đều chứa log23 , nên ta lấy lôgarit cơ số 2 hai vế của phương trình để nhận được:

(x – 1) = (1 – 2x)log23

⇔ x – 1 = log23 – 2xlog23

⇔ x + 2xlog23 = log23 + 1

⇔ x(2log23 + 1) = log23 + 1

Chọn đáp án D

Câu 4: Giải phương trình (x2 – 2x)lnx = lnx3

A. x = 1, x = 3    B. x = -1, x = 3     C. x = ±1, x = 3    D. x = 3

Điều kiện x > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(x2 -2x)lnx = 3lnx ⇔ (x2 – 2x + 3)lnx = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3 .

Chọn đáp án A.

Chú ý. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện dẫn đến không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu C.

Thậm chí, có thể học sinh biến đổi (x2 – 2x)lnx = 3lnx ⇔ x2 -2x = 3(giản ước cho lnx) dẫn đến mất nghiệm x = 1 và chọn phương án nhiễu D.

Câu 5: Nếu log7(log3(log2x)) = 0 thì x-1/2 bằng :

log7(log3(log2x)) = 0 ⇔ log3(log2x) = 70 = 1

⇔ log2x = 3t ⇔ x = 23 = 8

Chọn đáp án C

Câu 6: Giải phương trình logx = log(x + 3) – log(x – 1)

A. x = 1   B. x = 3   C. x = 4    D. x = -1, x = 3

Điều kiện x > 1. Khi đó phương trình tương đương với

Loại nghiệm x = -1 do không thỏa mãn điều kiện. Phương trình có một nghiệm x = 3.

Chọn đáp án B.

Chú ý: Cũng như ở ví dụ 5, sai lầm học sinh dễ gặp bài này là do chủ quan muốn tiết kiệm thời gian mà quên đặt điều kiện, dẫn tới không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu D.

Câu 7: Giải phương trình log√2(x + 1) = log2(x2 + 2) – 1

A. x = 1   B. x = 0   C. x = 0, x = -4   D. x = 0, x = 1

Điều kiện x > -1. Khi đó phương trình tương đương với

2log2(x + 1) = log2(x2 + 2)

Chọn đáp án B

Câu 8: Cho biết logb2x + logx2b = 1, b > 0, b ≠ 1, x ≠ 1. Khi đó x bằng:

A. b    B. √b    C. 1/b     D. 1/b2

Điều kiện: x > 0

Chọn đáp án A.

Chú ý. Khác với các ví dụ trên, các biến đổi trong ví dụ này không làm mở rộng miền xác định của phương trình (x > 0). Do đó ta đã không nhất thiết phải đặt điều kiện x > 0. Trong nhiều trường hợp việc bỏ qua đặt điều kiện sẽ làm đơn giản hơn và tiết kiệm thời gian.

Câu 9: Cho biết 2x = 8y + 1 và 9y = 3x – 9 . Tính giá trị của x + y

A. 21     B. 18   C. 24    D. 27

Vậy x + y =27.

Chọn đáp án D.

Câu 10: Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn đồng thời 3×2 – 2xy = 1 và 2log3x = log3(y + 3). Tính x + y

A. 9/4     B. 3/2    C. 3   D. 9

Điều kiện x > 0, y > -3.

Ta có: 3×2 – 2xy = 1 = 30 ⇔ x2 – 2xy = 0

⇔ x(x – 2y) = 0 ⇔ x – 2y = 0 (x > 0) ⇔ x = 2y (1)

2log3x = log3( y + 3) ⇔ log3x2 = log3(y + 3) ⇔ x2 = y + 3 (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

Câu 11: Giải phương trình 10x = 0,00001

A. x = -log4    B. x = -log5    C. x = -4    D. x = -5

10x = 0,00001 ⇔ 10x = 10-5 ⇔ x = -5

Câu 12: Giải phương trình

Câu 13: Cho phương trình

Nghiệm của phương trình này nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Câu 14: Giải phương trình 32x – 3 = 7 . Viết nghiệm dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần nghìn.

A. x ≈ 2,38   B. x ≈ 2,386    C. x ≈ 2,384   D. x ≈ 1,782

Câu 15: Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình 4×2 + 2 – 9.2×2 + 2 + 8 = 0

A. 2   B. 4   C. 17   D. 65

Câu 16: Giải phương trình 4x + 2x + 1 – 15 = 0. Viết nghiệm tìm được dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm

A. x ≈ 0,43     B. x ≈ 0,63    C. x ≈ 1,58    D. x ≈ 2,32

Câu 17: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 7x + 2.71 – x – 9 = 0.

A. log27 + 1   B. log72 + 1    C. log72    D. log27

Câu 18: Tìm nghiệm của phương trình 41 – x = 32x + 1

41 – x = 32x + 1 ⇔ 22 – 2x = 32x + 1

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế ta được :

Câu 19: Giải phương trình log5(x + 4) = 3

A. x = 11    B. x = 121    C. x = 239    D. x = 129

Điều kiện : x + 4 > 0 ⇔ x > -4

PT ⇔ x + 4 = 53 = 125 ⇔ x = 121 ( thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm cuả phương trình đã cho là 121.

Câu 20: Tìm các số thực a thỏa mãn log10(a2 – 15a) = 2

log10(a2 – 15a) = 2 ⇔ a2 – 15a = 102 = 100 ⇔ a2 – 15a – 100 = 0

Câu 21: Giải phương trình x2lnx = lnx9

A. x = 3   B. x = ±3    C. x = 1, x = 3    D. x = 1, x = ±3

Điều kiện x > 0.

Câu 22: Giải phương trình log4(log3(log2x)) = 0

A. x = 2    B. x = 8    C. x = ∛2    D. x = 432

log4(log3(log2x)) = 0 ⇔ log3(log2x) = 1 ⇔ log2x = 3 ⇔ x = 23 = 8 (thỏa mãn điều kiện).

Câu 23: Giải phương trình lnx + ln(x – 1) = ln2

A. x = 3/2    B. x = -1, x = 2    C. x = 2    D. x = 1, x = 3/2

Điều kiện x > 1

Ta có: lnx + ln(x – 1) = ln2

⇔ x(x – 1) = 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0

⇔ x = -1 (loại) hoặc x = 2

Câu 24: Giả sử α và β là hai nghiệm của phương trình 3 + 2log2x = log2(14x – 3). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. α = -4    B. log2α = -2    C. α = 3/2    D. α3/14

Trước hết, ta giải phương trình 3 + 2log2x = log2(14x – 3) (1)

Điều kiện x > 3/14. Khi đó (1) <=7gt; log28 + log2x2 = log2(14x – 3)

⇔ 8×2 = 14x – 3 ⇔ = 8×2 – 14x + 3 = 0

Câu 25: Tính tích các nghiệm của phương trình logx4 + log4x = 17/4

A. 1    B. 16    C. 4∜4   D. 256√2

Điều kiện : x > 0 ; x ≠ 1

Đặt t = log4x, nhận được phương trình:

Tích hai nghiệm : 256.√2

Câu 26: Tìm hai số x và y đồng thời thỏa mãn 3x + y = 81 và 81x – y = 3

Câu 27: Một quần thể vi khuẩn bắt đầu từ 100 cá thể và cứ sau 3 giờ thì số cá thể lại tăng gấp đôi. Bởi vậy, số cá thể vi khuẩn được biểu thị theo thời gian t (tính bằng giờ) bằng công thức

Hỏi sau bao lâu thì quần thể này đạt đến 50000 cá thể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) ?

A. 36,8 giờ   B. 30,2 giờ    C. 26,9 giờ    D. 18,6 giờ

Sau t giờ thì số cá thể vi khuẩn có được là :

Câu 28: Khi đèn flash của một máy ảnh tắt thì ngay lập tức nguồn điện từ pin sẽ xạc cho tụ điện của nó. Lượng điện tích trong tụ xác định bởi công thức

trong đó Q0 là điện tích tối đa mà tụ có thể tích được, thời gian t tính bằng giây. Hỏi sau bao lâu thì tụ tích được 90% điện tích tối đa ?

A. 3,2 giây   B. 4,6 giây    C. 4,8 giây    D. 9,2 giây

Để tụ tích được 90% điện tích tối đa thì Q